Una expresión que deba ser verdadera o
falsa pero que no pueda ser ambas, la llamaremos una proposición.
Proposiciones abiertas
Declaraciones cuantificadas
 Condicional
La condicional p→q, que se lee
"si p, entonces q" o "p implica q," se define con la
siguiente tabla de verdad.
La flecha "→" es el operador
condicional, y en p→q la proposición p es llamada en el antecedente,
o hipótesis, y q es llamada la consecuente, o conclusión.
Observa que el condicional en un nuevo
ejemplo de un operador lógico binario -- asigna a cada par de
proposiciones p y q la nueva proposición p→q.
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Dominio de la variable
El conjunto que consiste de los
elementos que pueden reemplazar a la variable de una proposición abierta, lo
llamaremos el Dominio de la variable. El conjunto formado por aquellos
elementos del dominio de la variable que hacen verdadera la proposición abierta
p(x), lo llamaremos el conjunto solución de la proposición abierta p(x).Proposición conjuntiva
A la proposición que resulta de
unir dos proposiciones por medio del conectivo conjunción ( \and ), la
llamaremos proposición conjuntiva; p \and q, teniendo un valor de
verdad verdadero, sólo cuando ambas componentes sean verdaderas, es decir, si
al menos una de las componentes es falsa, entonces la proposición p
\and q es falsa.
Sean A y B dos conjuntos cualquiera,
entonces definiremos el conjunto A intersección B, que anotaremos por A ∩ B al
conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al B, o sea,
los elementos que tienen en común:
A ∩ B = { x / x ∈ A
\and x ∈ B }
Si P es el conjunto solución de la
proposición p(x) y Q el de la proposición q(x), entonces el conjunto solución
de p(x) ( \and ) q(x) es P ∩ Q.
El conjunto vacío que anotaremos Ø es
el conjunto que no tiene elementos.
Pudiéndose anotar: Ø = { x / x ∈ A
\and x ∉ A }
Tabla de la
verdad
p
q p \and q
0
0 0
0
1 0
1
0 0
1
1 1
Proposición disyuntiva
Para indicar que dos proposiciones
están conectadas con la letra "o" se utiliza el símbolo \or , llamado
conectivo disyuntivo. A la proposición que resulta de unir dos proposiciones
por medio del conectivo disyunción (\or), la llamaremos proposición disyuntiva
p \or q. p \or q tendrá un valor de verdad falso sólo cuando ambas componentes
sean falsas, es decir, si al menos una de las componentes es verdadera,
entonces p \or q es verdadera.
Sean A y B dos conjuntos, entonces
definimos el conjunto A unión B, que anotaremos por A ∪ B
al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al
conjunto B. A ∪ B = {x / x ∈ A
\or x ∈ B }
Para indicar que dos proposiciones
están conectadas, la primera implicando la segunda se utiliza el símbolo
\Rightarrow , llamado conectivo condicional, la primera proposición es llamada
antecedente o hipótesis y la segunda es consecuente o conclusión. A la
proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo
condicional, le llamaremos proposición condicional. p \Rightarrow q tendrá un
valor de verdad falso solamente cuando el antecedente (p) es verdadero y el
consecuente (q) es falso; en los demás casos diremos que p \Rightarrowq es
verdadero. Entonces la implicacion resulta de que ambos tienen que ser iguales
para que sea verdadero, de lo contrario sería falso....Cuantificaciones
Las declaraciones cuantificadas se
escriben en la forma:
Para todo x que pertenece
a R, se cumple que 2x pertenece a R.
Para todo a que pertenece
a R, existe x que pertenece a R, que está comprendido
entre a y a+1.
Para todo a que pertenece
a R diferente de cero, existe un único x que pertenece
a R, que cumple que a por x es igual a 1.
El cuantificador universal se utiliza
para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una
determinada propiedad. Por ejemplo:
Para todo x perteneciente
a A, se cumple P(x).
Esta afirmación suele usarse como la
equivalente de la proposición siguiente:
El cuantificador existencial se usa
para indicar que hay uno o más elementos en el conjunto 
(no necesariamente único/s) que cumplen
una determinada propiedad. Se escribe:
(no necesariamente único/s) que cumplen
una determinada propiedad. Se escribe:
Existe x en A que
cumple P(x).
Esta proposición suele interpretarse
como la equivalente de la proposición siguiente:
El conjunto de los
elementos x de A, que cumplen P(x) es distinto del
conjunto vacío.
El cuantificador existencial con marca
de unicidad se usa para indicar que hay un único elemento de un
conjunto A que cumple una determinada propiedad. Se escribe:
Se lee:
Existe una única x elementos
de A, que cumple P(x).
1.3 TABLAS DE VERDAD
Estas tablas pueden construirse
haciendo una interpretación de los signos lógicos,Ø, Ù, Ú, ®, «,como: no, o, y,
si…entonces, sí y sólo si, respectivamente. La interpretación corresponde al
sentido que estas operaciones tienen dentro del razonamiento.
Puede establecerse una correspondencia
entre los resultados de estas tablas y la deducción lógico matemática. En
consecuencia, las tablas de verdad constituyen un método de
decisión para chequear si una proposición es o no un teorema.
Para la construcción de la tabla se
asignará el valor 1(uno) a una proposición cierta y 0 (cero) a una proposición
falsa.
Negación: El valor de verdad de la negación es el
contrario de la proposición negada.
Disyunción: La disyunción solamente es falsa si lo
son sus dos componentes.
Conjunción: Solamente si las componentes de la
conjunción son ciertas, la conjunción es cierta.
Condicional: El condicional solamente es falso
cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. De la verdad no
se puede seguir la falsedad.
Bicondicional: El bicondicional solamente es cierto si sus
componentes tienen el mismo valor de verdad.
Se denomina tautología una
proposición que es cierta para cualquier valor de verdad de sus componentes.
Por tanto, la última columna de su tabla de verdad estará formada
únicamente por unos.
Contradicción es la negación de
una tautología, luego es una proposición falsa cualesquiera sea el valor de
verdad de sus componentes. La última columna de la tabla de verdad de
una contradicción estará formada únicamente por ceros.
Preposición Condicional
Ahora supongamos por el bien de la
discusión de que la proposición original: "Si obtiene una A en lógica,
entonces te voy a comprar un Mustang amarillo," es verdad. Esto no
significa que tu obtendrás una A en lógica; lo único que quiere decir es que si
tu lo haces, entonces te voy a comprar un Mustang amarillo. Si Pensamos en esto
como una promesa, la única manera que pueda ser rota esta promesa es si ganas
una A pero no te compro un Mustang amarillo. En general, usamos esta idea para
definir la proposición p→q.
Nota
1. La única manera que puede ser
falsa p→q es si p es verdadera y q es falsa—esto es el caso de la "la
promesa rota."
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