Factorización
Primer caso(monomio):
En álgebra, un monimio se considera un único término
numérico. Dos monomios constituyen un polinomio o binomio. Sacar el factor
común de un monomio es bastante fácil, y ha de aprenderse antes de intentar
factorizar un polinomio. Cuando estudies álgebra, se te pedirá que sepas
factorizar un monomio antes que cualquier otro término.
Instrucciones
1 Determina cómo factorizar un número.
Factoriza un número dado, como el 24. Para factorizar el 24,
encuentra dos múltiplos o números que, cuando se multipliquen, den
24.
2 Utiliza los números 6 y 4. Al multiplicar estos
dos números, obtienes 24. Ahora factoriza el 6 mediante la búsqueda de dos
múltiplos que den como resultado 6. Usemos el 2 y el 3. Entonces busca
múltiplos de 4; 2 y 2. Al final, habrás factorizado 24 con los múltiplos de 6
(2, 3) y de 4 (2, 2).
3 Encuentra el factor común. En este ejemplo,
el factor común entre las dos series de múltiplos (6 y 4) es 2. Dado el ejemplo
de 24, los monomios son 2, 2, 2 y 3. También puede escribirse como 2*2*2*3 o
como 3*2^3.
4 Factoriza una expresión usando letras. Si
tienes un número seguido de x^2, entonces la x se ha de sacar dos veces y
tendrá este aspecto: x*x.
Ejemplos:
Ejemplo. Factorizar el monomio 24xy3z2.
24xy3z2 = 2 • 2 • 2 • 3 • x • y • y • y • z
Ejemplo. Factorizar el monomio -35a3b.
-35a3b = -1 • 5 • 7 • a • a • a • b
Se pretende descomponer en factores la expresión algebraica:
ax+a .Como los factores de la expresión ax+a son ax y
a , los cuales tienen en común a a escribiremos al factor común a como
coeficiente de la expresión x+1 teniendo en cuenta ax + a= a(x+1)
Segundo
caso(diferencia de cuadrados):
EJEMPLO 1: (Fácil)
x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)
x 3
x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)
x 3
Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y
3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la
"resta de las bases".
EXPLICACIÓN:
Es una resta de dos términos que son cuadrados:
x2 es el cuadrado de x
9 es el cuadrado de 3
1) "Bajo las bases", como hacía en el Tercer Caso. Las bases son: x y 3). Esto es simplemente una anotación, y no forma parte de la factorización. Pero es mejor ponerlo, para que el profesor vea que entendemos lo que estamos haciendo.
2) Pongo esas bases sumando y restando, entre paréntesis y multiplicándose. El resultado de la factorización es entonces:
(x + 3).(x - 3) SUMA POR RESTA DE LAS BASES
Es decir: "Las bases sumadas, multiplicado por la bases restadas".
Ejemplos:
EJEMPLO 2: (Con dos letras)
x2 - y2 = (x + y).(x - y)
x y
Las dos bases son letras
x2 - y2 = (x + y).(x - y)
x y
Las dos bases son letras
EJEMPLO 3: (Con el "1")
b2 - 1 = (b + 1).(b - 1)
b 1
No hay que olvidar que el número 1 es un cuadrado.
b2 - 1 = (b + 1).(b - 1)
b 1
No hay que olvidar que el número 1 es un cuadrado.
EJEMPLO 4: (Con fracciones)
x2 - 9/25 = (x + 3/5).(x - 3/5)
x 3/5
9/25 es cuadrado. Porque 9 es cuadrado (de 3), y 25 también (de 5)
x2 - 9/25 = (x + 3/5).(x - 3/5)
x 3/5
9/25 es cuadrado. Porque 9 es cuadrado (de 3), y 25 también (de 5)
EJEMPLO 5: (Con potencias distintas de 2)
x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)
x3 2
x6 es también un cuadrado, es el cuadrado de x3. Ya que (x3)2 es igual a x6
x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)
x3 2
x6 es también un cuadrado, es el cuadrado de x3. Ya que (x3)2 es igual a x6
EJEMPLO 6: (Con términos "compuestos")
36x2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x - a3b2)
6x a3b2
Los términos pueden estar compuestos por varios factores, y no una sola letra o número. Pero todos deben ser cuadrados.
36x2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x - a3b2)
6x a3b2
Los términos pueden estar compuestos por varios factores, y no una sola letra o número. Pero todos deben ser cuadrados.
Tercer
caso(trinomio cuadrado perfecto):
|
En un trinomio cuadrado perfecto.
|
|
Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.
|
|
1)
|
Un trinomio ordenado con relación a una letra
|
|
2)
|
Es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer
término son cuadrados perfectos
|
|
3)
|
El segundo término es el doble producto de sus raíces
cuadradas.
|
|
Procedimiento para factorizar
|
|
1)
|
Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en
el ejemplo a y b.
|
|
2)
|
Se forma un producto de dos factores binomios
con la suma de estas raíces; entonces (a + b)(a + b).
|
|
3)
|
Este producto es la expresión factorizada (a + b)2.
|
Si el ejercicio fuera así:
|
a2
|
-
|
2ab
|
+
|
b2
|
=
|
(a - b) 2
|
|
|
|
|||||
|
a
|
b
|
|
Procedimiento para factorizar
|
|
1)
|
Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer
término; en el ejemplo a y b.
|
|
2)
|
Se forma un producto de dos factores binomios con la
diferencia de estas raíces; entonces
|
|
(a - b)(a - b).
|
|
|
3)
|
Este producto es la expresión factorizada (a - b)2.
|
Ejemplo 1: Factorizar x2 + 10x + 25
La raíz cuadrada de : x2 es x
La raíz cuadrada de : 25 es 5
El doble producto de las raíces: 2(x)(5) es 10x
|
Luego
|
x2 + 10x + 25
|
=
|
(x + 5)2
|
Ejemplo 2: Factorizar 49y2 + 14y + 1
La raíz cuadrada de : 49y2 es 7y
La raíz cuadrada de : 1 es 1
El doble producto de las raíces: 2(7y)(1) es 14y
|
Luego
|
49y2 + 14y + 1
|
=
|
(7y + 1)2
|
Ejemplo 3: Factorizar 81z2 - 180z +
100
La raíz cuadrada de : 81z2 es 9z
La raíz cúbica de : 100 es 10
El doble producto de las raíces: 2(9z)(10) es 180z
|
Luego
|
81z2 - 180z + 100
|
=
|
(9z - 10)2
|
|
4a8
|
32a4b
|
|||||||
|
Ejemplo 4:
|
Factorizar
|
---
|
-
|
------
|
+
|
64b2
|
||
|
49
|
7
|
|||||||
|
4a8
|
2a4
|
||
|
La raíz cuadrada de :
|
--
|
es
|
--
|
No hay comentarios:
Publicar un comentario